複數計算機

複數計算機

歡迎使用我們的複數計算機，這是一款綜合工具，旨在對複數執行各種運算，並提供詳細的分步解決方案和可視化。此計算機非常適合學生、工程師以及在數學或工程領域處理複數的任何人。

複數計算機的功能

• 算術運算：複數的加法、減法、乘法和除法。
• 轉換：在矩形和極坐標形式之間轉換。
• 複數函數：計算複數的模、幅角、共軛、冪和根。
• 分步解決方案：理解計算中涉及的每一步。
• 可視化：在複平面上繪製複數。

理解複數

複數是可以表示為 \( a + bi \) 形式的數，其中 \( a \) 和 \( b \) 是實數，且 \( i \) 是滿足 \( i^2 = -1 \) 的虛數單位。

矩形形式

在矩形形式中，複數表示為 \( z = a + bi \)。

極坐標形式

在極坐標形式中，複數表示為 \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \) 或 \( z = re^{i\theta} \)，其中：

• \( r = |z| \) 是 \( z \) 的模
• \( \theta = \arg(z) \) 是 \( z \) 的幅角

運算解釋

以下是您可以使用此計算機對複數執行的運算及其相應的公式：

加法

在矩形形式下對兩個複數進行加法：

\[ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]

減法

在矩形形式下從一個複數中減去另一個複數：

\[ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i \]

乘法

在矩形形式下對兩個複數進行乘法：

\[ (a + bi) \times (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \]

或者，在極坐標形式下：

\[ re^{i\theta} \times se^{i\phi} = (rs)e^{i(\theta + \phi)} \]

除法

在矩形形式下將一個複數除以另一個複數：

\[ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} \]

在極坐標形式下：

\[ \frac{re^{i\theta}}{se^{i\phi}} = \left(\frac{r}{s}\right)e^{i(\theta - \phi)} \]

模

複數 \( z = a + bi \) 的模計算為：

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

幅角

複數 \( z = a + bi \) 的幅角 \( \theta \) 是它與正實軸形成的角度，計算為：

\[ \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \]

共軛

複數 \( z = a + bi \) 的共軛是：

\[ \overline{z} = a - bi \]

矩形轉極坐標轉換

將複數從矩形形式轉換為極坐標形式：

\[ z = a + bi \Rightarrow r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \] \[ z = re^{i\theta} \]

極坐標轉矩形轉換

將複數從極坐標形式轉換為矩形形式：

\[ z = re^{i\theta} \Rightarrow a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta \] \[ z = a + bi \]

冪

在極坐標形式下將複數 \( z \) 提升到整數冪 \( n \)：

\[ z^n = \left(re^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta} \]

在矩形形式下，使用二項式展開：

\[ (a + bi)^n \]

根

在極坐標形式下，找到複數 \( z = re^{i\theta} \) 的 \( n \) 次根：

\[ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} e^{i\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n-1 \]

如何使用複數計算機

• 以所需的格式（矩形或極坐標）輸入第一個複數。
• 選擇您要執行的運算。
• 如有需要，輸入第二個複數。
• 指定輸入和輸出形式。
• 對於冪或根等運算，提供必要的指數。
• 點擊“計算”以處理您的輸入。
• 查看結果以及分步解決方案和圖表。

複數的應用

複數在各個領域中廣泛應用，例如：

• 電氣工程：分析交流電路。
• 量子物理學：描述量子態。
• 信號處理：傅里葉變換和濾波器。
• 控制系統：穩定性分析。
• 數學：求解多項式方程。

附加資源

欲了解更多關於複數及其應用的信息，請查看以下資源：

• 複數 - 維基百科
• 複數入門 - 可汗學院

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