확률 분포 계산기

확률 분포 계산기 정보

우리의 확률 분포 계산기에 오신 것을 환영합니다. 이 도구는 자세한 단계별 솔루션과 함께 다양한 확률 분포의 확률, 누적 확률 및 분위수를 계산하도록 설계된 종합적인 도구입니다. 이 계산기는 학생, 교사 및 확률과 통계를 다루는 모든 사람에게 이상적입니다。

확률 분포 계산기의 특징

• 단계별 솔루션: 확률 계산에 포함된 각 단계를 이해합니다。
• 사용자 친화적인 인터페이스: 쉽게 매개변수를 입력하고 즉시 결과를 얻습니다。
• 다양한 분포 지원: 정규, 이항, 포아송, 지수 및 균등 분포。

확률 분포 이해하기

확률 분포는 확률이 랜덤 변수의 값에 어떻게 분포되는지를 설명합니다. 아래는 지원되는 각 분포의 공식과 비교입니다。

정규 분포

정규 분포는 평균 \( \mu \)와 표준 편차 \( \sigma \)로 특징지어지는 연속 확률 분포입니다。

• PDF: \( f(x) = \dfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{- \dfrac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} \)
• CDF: \( F(x) = \dfrac{1}{2} \left[ 1 + \text{erf} \left( \dfrac{x - \mu}{\sigma \sqrt{2}} \right) \right] \)
• 분위수 함수：\( x = \mu + \sigma \Phi^{-1}(p) \)

이항 분포

이항 분포는 성공 확률 \( p \)를 가진 \( n \)번의 독립적인 베르누이 시행에서의 성공 횟수를 나타내는 이산 확률 분포입니다。

• PMF: \( P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \)
• CDF: \( F(k) = P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1 - p)^{n - i} \)
• 분위수 함수：주어진 \( p \)에 대한 CDF의 역。

포아송 분포

포아송 분포는 고정된 시간 또는 공간 간격 내에 주어진 횟수의 사건이 발생할 확률을 표현하는 이산 확률 분포입니다。

• PMF: \( P(X = k) = \dfrac{e^{-\lambda} \lambda^{k}}{k!} \)
• CDF: \( F(k) = P(X \leq k) = e^{-\lambda} \sum_{i=0}^{k} \dfrac{\lambda^{i}}{i!} \)
• 분위수 함수：주어진 \( p \)에 대한 CDF의 역。

지수 분포

지수 분포는 포아송 과정에서 사건 간의 시간을 모델링하는 데 일반적으로 사용되는 연속 확률 분포입니다。

• PDF: \( f(x) = \lambda e^{- \lambda x} \) for \( x \geq 0 \)
• CDF: \( F(x) = 1 - e^{- \lambda x} \)
• 분위수 함수：\( x = -\dfrac{1}{\lambda} \ln(1 - p) \)

균등 분포

균등 분포는 구간 \( [a, b] \) 내에서 동일한 길이의 모든 구간이 동일한 확률을 갖는 연속 확률 분포입니다。

• PDF: \( f(x) = \dfrac{1}{b - a} \) for \( a \leq x \leq b \)
• CDF: \( F(x) = \dfrac{x - a}{b - a} \) for \( a \leq x \leq b \)
• 분위수 함수：\( x = a + p(b - a) \)

비교 및 응용

각 분포는 다양한 목적에 맞게 사용되며, 다양한 유형의 데이터를 모델링합니다：

• 정규 분포: 평균을 중심으로 모이는 연속 데이터에 사용됩니다. 자연 과학 및 사회 과학에 적용 가능합니다。
• 이항 분포: 고정된 횟수의 독립적인 베르누이 시행에서의 성공 횟수를 모델링합니다. 품질 관리 및 유전학에 사용됩니다。
• 포아송 분포: 고정된 간격 내에서의 사건 수를 세는 데 적합합니다. 통신 및 교통 공학에 사용됩니다。
• 지수 분포: 포아송 과정에서 사건 간의 시간을 모델링합니다. 신뢰성 공학 및 대기열 이론에 사용됩니다。
• 균등 분포: 구간 내에서 동일한 확률을 나타냅니다. 시뮬레이션 및 무작위 샘플링에 사용됩니다。

확률 분포 계산기 사용 방법

• 사용하려는 분포를 선택합니다。
• 계산 유형을 선택합니다: PDF/PMF, CDF 또는 분위수 (Inverse CDF)。
• 필요한 매개변수와 값 또는 확률을 입력합니다。
• "Calcola"를 클릭하여 입력을 처리합니다。
• 자세한 단계별 솔루션과 함께 결과를 확인합니다。

추가 리소스

• 확률 분포 - 위키백과
• 통계 및 확률 - 칸 아카데미
• MIT OpenCourseWare - 확률 및 통계 입문

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